neděle 26. dubna 2009

Zbytečné počty?

Vždycky jsem k fyzice přistupoval trochu po svém - jakmile jsem se naučil nějakou novou teorii, hned jsem se ptal, co by se stalo, kdyby nebyl splněný tenhle předpoklad, nebo kdybychom tohle chtěli formulovat obecněji. Typické příklady jsou - jak by vypadal atom vodíku v n-rozměrném prostoru? Kolik pólů má n-rozměrná rotující planeta? Apod. Vždy mi to přišlo hodně zajímavé. Jakmile se ale někdo zeptá, k čemu to je, musím říct, že k ničemu. Kdo by zaměstnal architekta, aby mu navrhnul čtyřrozměrný dům?

Když jsem si ale pár věcí dával dohromady, uvědomil jsem si, že skoro s každým podobným zobecněním jsem se naučil něco důležitého. Nedá mi to a musím se s nejzajímavějšími „absurdními“ výpočty, které jsem prováděl. (Popravdě se divím, že jsem o nich zatím ještě nepsal.)

Jak vypadá n-rozměrný vodík?

Tohle byla možná nejpoučnější vynaložená práce, k jejíž některým důležitým výsledkům mě kdysi navedl Luboš Motl. Lehčí část je najít rovnici pro radiální část vlnové funkce. Dojde se k zajímavému výsledku - zatímco ve 3-D je energie vodíku kvantovaná, ve čtyřrozměrném prostoru není a ve více rozměrech je elektron spadený v jádře. Nejprve mi tento výsledek přišel hodně překvapující, pak mi ale došlo, proč to tak musí být - když si spočítáte energii planety obíhající ve 4-D, zjistíte, že je volná. Pokud jenom změníte směr rychlosti, uletí - úniková energie je stejná jako kinetická energie oběhu. Proč elektron ve více rozměrech padá na jádro je ale ještě více překvapivé - jednoduše proto, že elektron v základním stavu drží princip neurčitosti. Pokud byste jej chtěli smáčknout více, bude lokalizovanější v poloze, a musí proto být méně lokalizovaný v hybnosti. Energie příslušná této hybnosti roste jako p2, takže jako 1/r2. Tento člen v jisté vzdálenosti od jádra převáží Coulombický člen -1/r a nastane rovnováha. Ve více rozměrech bude vypadat Coulombický potenciál jako -1/r(n-2), takže ve 4-D bude elektron vždy volný a ve více-D bude muset spadnout na jádro, protože potenciál je už moc strmý. Zajímavý závěr: Za chemickou vazbu i stabilitu atomů může vlastně princip neurčitosti!

Dálnice - Newton


Kolik pólů má n-rozměrná rotující planeta?
Ne, vážně jste čekali, že tohle bylo k něčemu dobré, kromě poznatku, že lineární algebra je užitečná?

Co dělá Lorentzovu grupu tak speciální, že je vůči ní fyzika invariatní? Dá se vymyslet jiná grupa, ze které by plynula jiná relativita? Dá se nad takovou grupou postavit obecná relativita? Tohle jsou rovněž „zbytečné“ otázky, a přesto odpověď na ně dává nečekané vhledy. Poincarého grupa je totiž skutečně speciální jenom tím, že jsou vůči ní fyzikální zákony invariantní. Kdybychom si vymysleli jinou grupu a formulovali vůči ní invariantní zákony? Samozřejmě to jde. Třeba ve světě, který je kromě rotací, translací a boostů invariantní ještě vůči boostům kolem nějakého vektoru úhlové rychlosti, by byly vztažné soustavy rotující vůči sobě konstantní úhlovou rychlostí úplně stejné. Kromě zákonů zachování energie, hybnosti, momentu hybnosti a spinu, (u kterého mi doteď není úplně jasné, jestli je to skutečně jen moment hybnosti, když vzniká díky jiné symetrii, byť se chová stejně), bychom zde měli tři nové zachovávající se veličiny.) Zajímavý závěr: Zatím nevím, jak by se nad obecnou grupou budovala obecná relativita, ale pokud na to přijdu, pak mi to určitě pomůže lépe pochopit, jestli je její geometrická interpretace něčím zvláštním, nebo jestli je to něco, co se dá udělat pro každou z možných speciálních relativit - například Newtonova teorie se dá zapsat geometricky, ale ne pomocí metriky, jen pomocí afinních konexí.

Vyvolávají nutně červí díry paradoxy? Tahle úvaha mě napadla, když jsme s Mikulášem diskutovali, zda bych byl schopný vytvořit alespoň rámcově udržitelnou omáčku pro nějaké sci-fi, kde je samozřejmě cestování ke hvězdám samozřejmostí. Kdo zná trochu STR, snadno uvidí, co je za problém s cestováním nadsvětelnou rychlostí - vždy se najde pozorovatel, který uvidí takového cestovatele cestovat do minulosti. Takže je porušena kauzalita, což by nešlo. U červích děr (ala Stargate) k tomu zdánlivě nedochází, ale problém nastane, kdy se má určit, které body světočáry jedné červí díry vás přenesou do kterých bodů druhé červí díry, tedy jaké je společné „teď“. Pokud pak máte více červích děr na jednom místě, pak obecně vedou do různých teď (protože s jednou z nich jsem mohl pohybovat a tím její rychlost plynutí času měnit.) Takže i červí díry mají problém. Pak jsem si ale uvědomil, že problém se dá obejít i tak, že se budeme tvářit, že v časoprostoru je definovaná prostorupodobná nadplocha, která určuje globální teď. (A zejména, pokud by ji byly schopné rozeznat třeba jen některé druhy částic, bychom se mohli tvářit, že by se dala klidně později objevit a dnes se o ní jednoduše neví.) Taková nadplocha by umožnila se vyhnout paradoxům s časem (warpový nebo červoděrový cestovatel může vždycky jít nejlépe rovnoběžně s nadplochou, takže nikdy nesměřuje do minulosti). Tím neutrpí princip konstantní rychlosti světla, ale půjdou pak postavit přístroje, které poznají vyjímečnou vztažnou soustavu, pro kterou je naše nadplocha současností. Pak samozřejmě nejsou všechny vztažné soustavy rovnocenné. Zajímavý závěr: člověk si alespoň lépe uvědomí, na jakých axiomech STR stojí a že není potřeba rovnou bourat princip konstantní rychlosti světla, když už potřebujeme funkční sci-fi svět.

Dálnice - STR, obzor se křiví, barví Dopplerovým jevem a mění se intenzita.

Dalších podobných úvah mám hodně, ale nemám je všechny zdaleka tak rozmyšlené, abych u nich mohl zajímavosti vypíchnout - jen namátkou - Jak by vypadala kvantová teorie, která dává pohybovou rovnici obsahující i vyšší řády v čase? (A zrychlení a další veličiny, jsou stavové.) Jaké zajímavé důsledky dává kalibrační teorie, kde za kalibračně invariantní pole nebereme Diracovo pole s poločíselným spinem, ale pole se spinem vyšším? Jaké zajímavé termodynamické důsledky se objeví, pokud do hry zahrneme stroj času? (Co se stane s entropií, když jednou z podmínek je, že světočáry se musí navázat?) Atd. atp. Na první pohled jsou to úvahy zbytečné, ale člověk nikdy neví ..

19 komentářů:

Anonymní řekl(a)...

Nějak nerozumím tomu, proč by měl ve více-D spadnout elektron vodíku do jádra. To má příslušná část Schrödingerovy rovnice v radiálním směru jediné fyzikálně přijatelné řešení (tj. z L^2(R+)), a to identicky nulové? To je nějak vidět? Já tedy ani nevím, jak zjistit vlastní čísla příslušného sférického laplaciánu.

irigi řekl(a)...

Ne, spíš tak, že ta rovnice má pouze kvadraticky neintegrabilní řešení. Jak zrovna tohle ukázat nevím, tady jsem se spokojil s fyzikální úvahou - ať bych zvolil základní stav jakkoliv, vždycky bych mohl jeho energii snížit tak, že ho přiblížím k jádru - kinetická energie díky lokalizaci vzroste jako 1/r^2, zatímco potenciální poklesne o 1/r^(n-2). Když takto pustím libovolnou klasickou částici, měla by spadnout po spirále dolů. Zarazí se až o lineární potenciál jádra. Ve 4D to radiální řešení vyjde v Besselových funkcích, které jsou kvadraticky integrovatelné jen pro kladné energie. Tu neexistenci řešení ve více D ale dokázanou zatím nemám.


Laplace ve 4D jde separovat v Hopfových souřadnicích

x1 = r Cos[u1] Sin[n],
x2 = r Sin[u1] Sin[n],
x3 = r Cos[u2] Cos[n],
x4 = r Sin[u2] Cos[n],

protože úhly u1 a u2 přímo reprezentují otočení realizované navzájem komutujícími operátory otočení. (Otočení v rovině x1-x2 a x3-x4 jsou nezávislá, ta právě tvoří ty magnetické kvantové čísla.) Když se to provede v těch součadnicích, zjistí se, že vlastní hodnoty L^2 jsou l(l+2). Odvodit to přímo z komutačních relací ala Formánek jsem taky ještě nezkoušel. Určitě je to výzva.

irigi řekl(a)...

No, tak abych odpověděl pořádně - z L^2(R+) by asi bylo přípustné řešení shodné s delta-funkcí v počátku.

irigi řekl(a)...

Tak myslím, že to mám - rovnice pro radiální část bude schématicky vypadat jako

ksi''(r) - (1 + c/r^2 + b/r^(n-2)) ksi(r) = 0,

kde b je konstanta charakterizující potenciál a b je konstanta závislá na vlastních hodnotách laplaciánu.

ksi(r) = R(r) e^-r r^rho,

kde rho je vhodná konstanta. Pak podle Formánkova dodatku D řešení rovnice výše, mající pól v počátku, lze zapsat ve tvaru Laurentovy řady, která ale má konečnou část se zápornými koeficienty pouze pokud pól představovaný členy c/r^2 + b/r^(n-2) je nejvýše druhého řádu. Což přesně odpovídá potenciálu v počtu rozměrů větším než čtyři. Takže pak má řešení nekonečnou část v záporných členech Laurentovy řady a nebude v počátku obecně integrovatelná, čili nebude z L^2(R+).

Rigorózněji to asi nedám ..

Kubaz řekl(a)...

Že by delta "funkce" byla v L^2 prostoru? To jde nějak nad moje chápání :-). To identicky nulové řešení, co jsem napsal, byla samozřejmě hloupost, stav, kdy tam elektron není, nás moc nezajímá...

Ad Laurentova řada - proč by mělo mít řešení pól v počátku? Nebo Formánek píše, že existuje jen řešení s pólem v počátku? Nějak nemám sílu ten dodatek číst. :-)

Kubaz řekl(a)...

Já se sice v teorii ODR nevyznám, ale nevím, proč by řešení mělo být vůbec nějakou řadou vyjádřitelné. Proč by to nemohla být nějaká neanalytická funkce? Stačí, když bude dvakrát diferencovatelná a z L^2. Skutečně žádné takové "hnusné" řešení nemůže existovat?

irigi řekl(a)...

Já nevím, Kubazi, myslím, že jsem daleko míň formální matik než Ty - distribuce do L^2 asi nepatří, to byl asi jen můj přebrept, na druhou stranu hodně z těch věcí beru intuitivně, takže občas něco zařadím do špatné kategorie.. Každopádně delta-funkce v jistém smyslu do Hilbertova prostoru patří, sice nevyjadřují přímo fyzikální stavy, ale vyjadřují stavy, do jejichž báze se fyzikální stavy rozepisují. A čekal bych, že elektron spadený na jádro je právě vyjádřený delta-fcí v počátku, proto jsem ji navrhl.

Formánek bez důkazu uvádí:

Věta 3: Nechť funkce p(z) nebo q(z0) má v bodě z0 pól či podstatnou singularitu, potom v okolí bodu z0 lze jedno z lineárně nezávislých řešení rovnice

w''(z) + p(z)w'(z) + q(z)w(z) = 0

napsat jako Laurentovu řadu (konkrétní tvar viz tam). Pokud tyto řady mají konečný počet členů v záporné části, pak se bod z0 nazývá regulární, jinak singulární.

Věta 4: z0 je regulárním bodem tehdy a jen tehdy, když p(z), resp. q(z) má v bodě z0 pól nejvýše prvního, resp. druhého řádu.

Popravdě mi není moc jasná implikace, že to, že je řešení v okolí z0 singulární znamená, že není L^2 integrabilní.

Důkaz těch vět neznám, osobně vždy hledám spíš fyzikální důvody, protože v kvantovce je tolik matematiky, že kdybych ji chtěl chápat až na dřeň, musel bych se v ní ztratit. Ale pokud bys na to přišel, rád si to poslechnu. :-) Jinak o té SO(4) grupě, hledání vlastních čísel L^2, apod., se klidně rád rozepíšu, kdybys chtěl.

Kubaz řekl(a)...
Tento komentář byl odstraněn autorem.
Kubaz řekl(a)...

(Ad smazaný záznam - uklikl jsem se :-))

S tím Hilbertovým prostorem bych byl opatrnější, Hilbertův prostor je unitární prostor (tj. prostor se skalárním součinem), který je úplný (tj. Cauchyovské posloupnosti jsou konvergentní, ten prostor není "děravý") a separabilní (existuje spočetná hustá podmnožina - to je dosti rozumný požadavek, protože pojem "nespočetné báze" moc nedává smysl... Tedy, z čistě algebraického hlediska dává, ale není to něco, s čím by se dalo rozumně pracovat).

Nevím, zda jde na prostoru distribucí vůbec zavést nějaký rozumný skalární součin, natož pak, zda-li v něm může být ten prostor úplný. Takže s použitím pojmu "Hilbertův prostor" bych byl také dost opatrný :-).

K rovnicím - formánek píše, že "jedno z řešení" lze zapsat řadou, nicméně z toho, cos napsal, vůbec neplyne, že neexistují další řešení, které řadou zapsat nelze. Mně osobně se tedy nechce moc věřit tomu, že by ve více rozměrech neexistovalo žádné "normální" řešení atomu vodíku (nechce se mi tomu věřit z hlediska fyzikální intuice, ne kvůli matematice, do těch ODR nevidím).

irigi řekl(a)...

Co se týká toho Hilbertova prostoru, tak to je věc spíše terminologická - fyzici běžně používají v tomhle případě termín Hilbertův prostor, i když matematický Hilbertův prostor to striktně vzato není. Kromě vektorů, jejichž skalární součin je normovatelný k jedničce se do něj totiž zahrnují i vektory, jejichž skalární součin k jedničce normovatelný není a dá se normovat jen k delta-distribuci.

Třeba stav odpovídající volné částici - rovinná vlna s impulzem k:

e^i(k.r - omega t)

ve skalárním součinu s druhou takovou vlnou nedává konečné číslo, ale dá se popsat distribucí. Tohle je přirozené zobecnění, které bys dostal, kdybys uvažoval částici v krychli a její stavy, a krychli nechal zvětšovat se nade všechny meze.

Samotné stavy vyjádřené distribucí pak asi moc fyzikální nejsou (limitně lze lokalizovat částici až na delta-funkci, ale nikdy to není úplné), ale stav daný jako stav normalizovaný k delta-funkci krát rychle ubývající obálka, přeintegrováno, už bude normovatelný k jedničce.

Ad rovnice: co se Ti nezdá na argumentu, že elektron už není v rovnováze mezi hybností plynoucí z neurčitosti a potenciální energií tak, aby seděl zhruba v minimu, nýbrž, že elektron spadne na jádro? Přijde mi velice přesvědčivý a navíc mám pocit, že dává člověku vhled do nového principu. (Mj. líbí se mi, že fyzikální intuice tady umožňuje vynášet poměrně složité výroky o diferenciálních rovnicích, jejichž pochopení je jinak asi daleko složitější.)

Kubaz řekl(a)...
Tento komentář byl odstraněn autorem.
Kubaz řekl(a)...

(Poslal jsem komentář s větou, která nedávala smysl, tak jsem ho opravil)

No jo, akorát ve chvíli, kdy to není skutečný Hilbertův prostor, selhávají v tom všechny metody, které se v normálních Hilbertových prostorech používají (ale předpokládám, že fyzikům to většinou žíly netrhá a používají je dál, i když vlastně neví, proč by to, co napsali, mělo vlastně platit :-)... Nicméně z výroků typu "využijeme vyjádření delta funkce ve tvaru integrál přes R z e^(ikx) dk" mně vstávají hrůzou vlasy na hlavě, tohle já nepodporuju (a podporovat nezačnu, dokud nebude existovat teorie, která tomu dá skutečný smysl)).

Ad elektron: Tomu argumentu totiž nějak nerozumím. Řekněme, že jsme třeba v pěti dimenzích. Když se na to budu dívat klasicky, tak dostředivé zrychlení klesá jako k/r^4. Kinetická energie (tj. rychlost oběhu na druhou) při dané vzdálenosti r bude dostředivé zrychlení krát m*r, tedy se bude chovat jako c/r^3. Z principu neurčitosti vím, že ve vzdálenosti r musím mít kinetickou energii alespoň d/r^2. To znamená, že mě zajímá, zda má rovnice c/r^3=d/r^2 nějaké řešení, což samozřejmě má, tedy mám vhodnou vzdálenost, ve které elektron může obíhat. Rozdíl oproti 3D je v tom, že vyšší hladiny energie budou ležet blíže jádru vodíku. Nebo tos myslel tím, že "spadne do jádra"? To, že nemůže z atomu uletět, ale dodáme-li mu vyšší energii, popostrčíme ho nutně více do jádra? Nebylo by přesnější říci, že existují pouze vázané stavy?

Jinak, hledal jsem o tom nějaké články a všude uvažují i ve více rozměrech coulombický potenciál 1/r. Někde to dokonce i nějak odvozují, ale moc jsem tomu nerozuměl.

Kubaz řekl(a)...

Hmm, proč mám dojem, že kecám nějaké koniny, protože jsem si prohodil znaménko :-)... Jsem už dnes nějaký unavený a nejsem schopen nad tím přemýšlet, tak to asi nechám na zítra.

irigi řekl(a)...

Ad matematika: Jo, s tou matematikou Tě trochu chápu - je mnoho teorií, které jsou matematicky zatím nepodložené. U některých je to výzva pro matematiky, protože mnohokrát se stalo, že fyziky používaná a "experimentem prověřená" (i když Ti to určitě zní hrozně) matematika ukázala směr, kterým ji pak matematici skutečně dovedli doplnit o exaktní základ. Zrovna vyjádření delta-funkce, které jsi napsal je IMHO ještě podložené, stačí ukázat, že integrál

e^ikx dk f(x) dx

je roven f(0) a pár dalších věcí o skalárních součinech, ze kterých distribuce vychází.

Ale v dnešní fyzice je spousta věcí, které matematicky podložené nejsou - třeba Feynmanův integrál, nebo renormalizace (onehdá jsem četl zajímavý příspěvek Luboše Motla o renormalizační grupě - v diskusi se dostali k tomu, že se zdá, že renormalizace odpovídá nějaké přesně popsané matematické struktuře, která akorát ještě není objevená) - a myslím, že ve fyzice nejde moc jinak jít - je potřeba nejít algoritmus, který vytváří správné předpovědi, a pak až se dá zkoumat, jestli matematika, kterou používá, je korektní.. (k čemuž už se často fyzici nedostanou, ale myslím, že třeba formalizováním kvantovky se zabývá dost matematiků.)

Ad vodík: Ono nejde o to, že by neexistovala stabilní dráha, ale o to, že energie je zdola neomezená. Zatímco ve 3D Ti vyjde, že energie je A/r^2 - B/r a ta má minimum (protože dalším přibližováním k jádru akorát zvyšuješ kinetickou energii), v 5 a víc D můžeš základní stav vždycky přiblížit k jádru z získáš tím další energii.

Když teď nad Tvou námitkou přemýšlím, tak jsi mne nahlodal v jedné věci - já jsem zatím vždycky počítal s-stav, tj. takový, kde je velikost impulsmomentu nulová. Tam vůbec nemůžu uvažovat nějaký centrifugální člen a jediná energie, která brání zhroucení na jádro je ta plynoucí z momentu hybnosti.

Teď mi došla další souvislost - u atomu vodíku ve 3D je vedlejší kvantové číslo určující velikost impulsmomentu maximálně rovno hlavnímu - teď je mi jasné, že proto, že kdyby bylo vyšší, elektron by musel být volný - centrifugální síla je moc velká. Třeba z 3D harmonického oscilátoru nemá elektron jak uletět, takže všechny hodnoty l jsou dovoleny. A protože existuje stabilní dráha i v 5 a více D, tak mi teď taky připadá, že s dodatečným impulsmomentem by mohl být atom vodíku stabilní. (Co se týká s-stavu, tam si pořád myslím, že spadne na jádro.) Takže kolem neřešitelnosti rovnic v L^2 jsem asi kecal ..

Ad coulombický potenciál: Nevím které články a k čemu ho používaly, to bys asi musel poslat odkaz na nějaký, kde je jasné, že to používají v tomtéž kontextu. Pokles potenciálu vychází z integrálních vět - elektrická intenzita tvoří vektorové pole, jehož tok povrchem koule odpovídá náboji uvnitř krát konstanta. Jak roste v nD povrch koule je jasné .. navíc Martin Výška myslím v té svojí SOČce o Maxwellkách v n-D ukazuje, že ten samý potenciál vypadne z relativistických Maxwellek přidáním prostorového rozměru. (Nemám na ni odkaz.)

irigi řekl(a)...

I když teď mě napadá, že je spíš s rostoucím l bude efektivní potenciál

A/r^2 - B/r^(n-2) + C(l)/r^2

pořád moc strmý (centrifugální člen C(l)/r^2 nedělá nic jiného než princip neurčitosti) až s dodatkem, že pro každé r existuje l takové, že na kruhové oběžné dráze s daným r bude energie najednou nulová nebo kladná a elektron bude volný. To je důvod existence klasické stabilní dráhy.

I v klasické mechanice ale platí, že jakmile se dostaneme pod tento klíčový poloměr, částice po spirále spadne. Jako trochu matoucí mi napřed přišlo, že energie na kruhové oběžné dráze vyjde jako

(-pot + kin)/r^(n-2),

kde pot je konstanta charakterizující sílu potenciálu a kin je konstanta určená hmotností částice. (Pro pot =< kin bude částice volná.) Takže kinetická energie potřebná na udržení na kruhové dráze je tedy úměrná 1/r^(n-2), ale centrifugální člen z efektivního potenciálu přibývá IMHO jako 1/r^2 (zbylá energie se při zachování momentu hybnosti přeměňuje na radiální pohyb). Odstředivý člen ale nestihne už nikdy dostředivou sílu vyrovnat.

Taky IMHO pro nějaké speciální nastavení parametrů může být nějaký stabilní stav odpovídající klasické oběžné dráze, ale spíš bych řekl, že protože vlnová funkce zasahuje i do oblasti malých poloměrů, část se zhroutí a část může uletět.

Kubaz řekl(a)...

Ad potenciál - myslím, že to bylo třeba tady: http://www.springerlink.com/content/p56pt09831315451/ a tady: http://www.springerlink.com/content/h52g62817118w602/ . Je mi jasné, že chceme zachovat tok toho pole n-1 rozměrnou sférou a k tomu prostě musí potenciál klesat tak, jak to počítáš ty. Ale z nějakého důvodu oni došli k něčemu jinému.

Jinak - s tím, že asi nebudou existovat s-stavy, s tebou souhlasím. Pro zbytek - teď je na čase skutečně tu rovnici vyřešit ;-).

irigi řekl(a)...

No, já jsem byl na pochybách, ale tou diskusí v minulém příspěvku mi teď fakt přijde, že centrifugální člen dělá prostě to samé jako ten neurčitostní, takže nemůže změnit situaci..

Jinak ten článek J. A. Goldstein, G. R. Rieder přímo tu situaci diskutuje! (Strana šest.) Píše, že přirozené by bylo mít Coulombický potenciál ubývající s mocninou n-2, ale že v takovém atomu/molekule by neexistovalo vázané řešení (s diskrétním spektrem), protože Hamiltonián by byl zdola neomezený (tedy přesně to, co píšu). Potom dodávají, že "ubývání potenciálu s mocninou menší než 2 je podmínkou pro řešení a tedy (nějaký matematický argument spojený s řešitelností) ubývání s první mocninou je přirozené zobecnění...". Naprosto nikde nediskutují výstup n-rozměrných Maxwellových rovnic - tedy právě relevantní fyziku! Tento stav věci mě i docela motivuje o tom napsat článek .. (až nasbírám víc zkušeností s tím, jak se píší).

U druhého článku jsem si žádné fyzikální diskuse nevšiml.

Kubaz řekl(a)...

Já jsem ty články podrobně nečetl, jen jsem si všiml, že tam z nějakého důvodu používají potenciál 1/r.

Centrifugální člen přeci nedělá totéž, co neurčitostní, ne? Energie obíhání se mění se vzdáleností se stejnou mocninou jako potenciál (samozřejmě z klasického pohledu, nějak si nedovedu moc představit, co z toho poleze kvantově mechanicky).

Jak z toho, že hamiltonián by byl zdola neomezený, plyne neexistence vázaného řešení? Nicméně pokud tam mají nějaký matematický agrument, tak to tak asi bude...

Co se týče článku - to by byl určitě zajímavý námět, protože takto to vypadá, že ve více rozměrech se nedá vybudovat "zajímavá" fyzika na stejných principech jako ve třech, protože by ani neexistovaly atomy. Stálo by za to se zamyslet, zda to, jakým způsobem trojrozměrnou fyziku zobecňujeme, není v něčem chybné. A nebo to také je zajímavý argument pro to, proč žijeme zrovna ve třech rozměrech.

irigi řekl(a)...

> Centrifugální člen přeci nedělá totéž, co neurčitostní, ne? Energie obíhání se mění se vzdáleností se stejnou mocninou jako potenciál

No, to mně taky mátlo, ale myslím, že ne. Když počítáš kruhové dráhy, tak to tak skutečně vyjde, ale to jenom znamená, že centrifugální energie nutná k udržení na dráze s konstantním r roste stejně jako potenciál, ale všimni si, že při takové "limitě" s nižším r přidáváš moment hybnosti. Musíš na to jít jinak - říct si, že máš konstantní moment hybnosti a počítat, jak se mění energie s poloměrem při konstantním momentu hybnosti - to je třeba dráha planety (když se moc přiblíží k centrálnímu tělesu, má moc velkou centrifugální energii a odrazí se zpět - ve 5D a víc ne - spadne po spirále. Pak samozřejmě není kruhová.)

A proč? Protože přesně tak řešení atomu vodíku funguje - napřed odseparuješ vlastní stavy momentu hybnosti (spojené s Y_l1..li, m1..mj) a pak radiální pohyb řešíš při konstantním l. Pak by mělo vyjít r v = konst., tedy

m v^2/2 ~ m / 2 r^2


Ad zdola neomezený Hamiltonián - přijde mi, že energetické hladiny se musí zaplňovat od nejnižší (alespoň ve stabilních stavech), takže pokud je spektrum Hamiltoniánu zdola neomezené, elektrony spadnou libovolně nízko (=libovolně blízko středu). Pak je samozřejmě otázka, jestli mezi mínus nekonečnou energií a nějakou energií charakterizující stav na poloměru r0 je konečně nebo nekonečně mnoho stavů. To asi obecně říct nejde, ale právě to, že centrifugální člen je 1/r^2 IMHO znamená, že je jich tam nekonečno (stavy s postupně se zvedajícím impulsmomentem).

Důsledky pro neexistenci chemie jsou hodně zajímavé - tedy ono to není tak, že by chemie neexistovala vůbec - jakmile se elektron dostane do potenciálu jádra, tak zase mohou orbitaly normálně existovat .. taky je zajímavý námět spočítat, jestli z potenciálu jádra může elektronová vlnová funkce trochu přečnívat. (To určitě vyloučené není.)